在之前的两期（晶体计算理论公式、散光晶体计算公式），我们已经详细了解了晶体计算的基础理论，甚至已经搭建出了自己的公式和计算方案。
但是为了更好地处理散光问题，我们还需要真正了解散光的“矢量计算”。
散光的深入理解为了方便起见，我们在这里只讨论规则散光。
散光最让人感到头疼的可能就是它是一个所谓的“矢量”或者“向量”，这个词一下子把人拉回到了中学时代的回忆里，连同平面几何、立体几何和三角函数这些概念编织出无数人的噩梦。
所谓矢量指的是既有大小（下图中箭头的长度
），也有方向（下图中箭头与
轴的夹角
）的量。
如果只是这样也就罢了，但是实际上散光与平面几何上的矢量概念也并不完全相同。
其中最显而易见的区别是，在数学里，
和
是两回事，但在散光的计算上，
和
居然是一回事。虽然这件事情在眼科是常识，但如果真的仔细想一下，其实有些违反直觉。这可能是理解散光矢量计算与数学上的矢量计算区别的开始。
我们都知道规则散光指的是角膜在不同子午线上屈光力不同，且最大和最小屈光力子午线方向正好互相垂直。假设最小屈光力是
，最大屈光力是
，那么散光为
，或者也等价于
——散光没有正或负。
这属于散光的入门级别的知识，但未必所有人都能回答这样一个问题，那就是，在
和
之间，角膜是个什么情况？
我们应该很有理由相信，在
和
之间，角膜的屈光力应该介于
和
之间，越靠近
越小，越靠近
越大，而且连续变化。
我们一般用屈光力
来表示一个角膜，但我们可以想象，如果角膜是完全没有弧度的，而是一块胶原板层堆叠而成的平板，那么当平行光垂直入射时，角膜是不会改变光的传播方向的，也就是不会具有屈光力。
所以可以说，角膜的屈光力来自于角膜的曲率半径，角膜越弯曲意味着角膜的半径越小，屈光力越大，数学上用这种方式表示：
其中
为屈光力，
指的是角膜的曲率半径。
和
都是介质的折射率，这里面
指的是光线从空气入射，所以
。而
则稍微复杂一些，可以有不同的取值，这个以后可能会需要单独的场合进行探讨。
再回到刚才的问题，在
和
之间，角膜是个什么情况？既然屈光力的本质是角膜的曲率半径，那么问题就等价于，在
和
之间的不同方向上，角膜的曲率半径是多少？
有散光的角膜的形态一个有散光的角膜在形态上可以被认为是一个“复合曲面”，或者叫环曲面。如果环曲面这个词难以理解的话，我们可以先从圆柱体开始。
一个圆柱体可以被看成是，在沿着它长轴的方向（轴向）上，它的弯曲程度（曲率）为
，那么曲率半径（曲率的倒数）就是无穷大
。而沿着与长轴垂直的方向（子午线）上，它的曲率半径最大。而在这两者之间呢，曲率半径连续变化，介于最大值和最小值之间。
而环曲面与圆柱体的区别就在于，其长轴的曲率半径是否为
。如果圆柱体的长轴也弯曲，就会形成一个环曲面。
一个形象的例子是，香肠是一个比较典型的圆柱体形态，我们把香肠掰弯，就会变成一根弯曲的香肠。假设我们买了一根质量非常好，韧性非常大的香肠，我们一直掰，直到香肠的头尾相接，形成的形状就会变得像一个甜甜圈（香肠居然变成了甜甜圈）。这样我们就把一个圆柱面，变成了一个环曲面。
把甜甜圈放在桌上，通过它的中心垂直切一刀，它的断面其实跟一开始香肠的断面半径是一样大的，这是环曲面上曲率半径最小的那个面，而香肠的长轴被掰成的那个大圆，就是环曲面上曲率半径最大的面。
如果把这个概念放到角膜上，就分别是最大屈光力子午线，和最小屈光力子午线了。
有散光的角膜就像一个甜甜圈的一部分，可能是眼科领域最引起食欲的比喻之一。
在最小和最大屈光力子午线之间，角膜连续变化，其间的曲率半径与角度有关，具体计算涉及到更多的问题，在此不展开。
而为了矫正这个角膜的散光，所使用的散光矫正型的人工晶体，其实也是某个“甜甜圈”的一部分。区别是我们需要把晶体的最大屈光力子午线对准角膜的最小屈光力子午线，这样才能实现各个方向上总的屈光力一致，从而矫正散光。
这可以解释很多问题，比如为什么各个厂家的散光晶体基本上都是在“平坦轴”上有标记点，而标记点的连线要对准角膜的“陡峭轴”。
这还可以解释，为什么散光晶体各子午线上的厚度不同，一般是有标记点的方向最厚，与之垂直的方向最薄。这一点不只是在晶体，在眼镜、角膜接触镜等各方面都可能是相通的。
散光的矢量计算在花费了大量篇幅，了解散光的本质和形态特征以后，我们终于可以回到一开始的问题上，散光的矢量计算到底是怎么回事？
矢量计算可能是整个散光的理论体系中最难理解，但又最为根本的部分。了解了这个以后可以发展出很多有意义的后续节点出来。
散光矢量计算的目的可能是这样一些：
计算某一个病人的手术源性散光（SIA），也就是手术前后散光的矢量差有一批由某一位术者进行手术的患者，知道每位患者的SIA，想要知道这位术者平均会引起多大的SIA，用来预测将来的情况将与术前散光合成SIA，用来预测患者手术后的角膜散光这三项任务分别由SIA计算工具、SIA统计工具、Toric计算工具实现。但如果我们去看这三个问题的本质，其实都是同样的一个问题。那就是如果已知了两个散光，怎么算他们的和。
如果已知散光
和
（
指的是
是个矢量，既有大小，也有方向），它们分别是
和
，怎么计算呢？
一旦解决了这个问题，之前的问题都迎刃而解：
计算某一个病人的SIA，只需要将术前术后的矢量相减，而，也就是相减的可以转化为相加计算多个SIA的平均，也就是，只需要把每个矢量都先相加，再把大小除以
术前散光与
合成更不是问题了
于是我们只需要解决这样一个问题：已知散光
和
，怎么计算它们的和——
呢？
目前最常用的方法是这样的：
先将两个散光的角度都翻倍，也就是把
变成
，把
变成
，接下来求
和
的和。
有什么理由这么做呢？如果用一种不太严谨，但容易理解的方式去说明，那就是人眼的度数划分区间是
，超过度的角度都需要对取余数。
而圆周是度的，将散光的角度做倍角计算等于把原来的区间也加倍，从
一一对应地映射到了
，这样就可以进行数学上的矢量计算了。
如果不这么做的问题是什么呢，举个例子就是：如果有两个散光，分别是
和
。很显然，我们希望这两者相加后的散光应该是0，因为如果如果角膜在
上有1D散光，再在
上引入1D散光，其实最终结果就不再有散光，而是整合为1D的球镜了。
如果上面这个例子直接算矢量和，会得到很奇怪的结果：
，变成“斜轴散光”了。这与实际情况是不符合的。
于是经过倍角以后，我们仍然有两个矢量需要求一下和。但是需要注意的是，在倍角以后求得的矢量和也是倍角的，最后还需要还原一下。我们先看看怎么求倍角以后的矢量和
。
虽然我们可以用很多方法求这样矢量和，但最简单易用的方法可能是矢量分解：把
和把
都分解到两个互相垂直的方向上，比如
（
轴）和
（
轴）。
如果回想一下三角函数，就会发现矢量分解其实很容易。
在
轴方向的分量是
，而
轴方向的分量也可以如法炮制。
这么一来，我们
和
都转化成了两个互相垂直的分量，总的
轴上的分量，而总的
轴上的分量。
这个结论可以推而广之，如果有
个矢量，那么就依次把这些分量都加起来：
到这里基本上已经解决了90%的问题。剩下来的就很简单了。
有了两个总的分量
和
以后，就可以计算
了。
根据勾股定理，
。而且我们发现
。然后可以用
算一下
，最后得到
。
但关于
需要注意的是，需要根据
和
决定实际的角度。这是由正切函数和反正切函数的性质决定的：如果
且
（第一象限），
;如果
且
（第二象限），
;如果
且
（第三象限），
;如果
且
（第四象限），
;
所以+
就得到了。这就是讨论矢量计算的开端。
小结为了避免内容过于硬核，在这里结束这一部分的内容，这一期比较完整地整理了散光的矢量计算方面的问题。
如果有读者到这里有一种戛然而止、意犹未尽之感的话，那是因为我们在填平一个坑的时候挖了更多的坑——只解答了一开始的三个问题中的第一个。
由于篇幅关系，矢量计算的应用、CentroidSIA、关于散光本质的更深入的内容等，将会在以后陆续尝试进行讨论。
声明此文章的目的是尽量从严谨的理论层面推导和说明相关问题，并不代表任何其他个人、组织或团体的意见，也不应被用于替代相关从业人士的专业建议。文中的公式或计算方法并非作者原创，均来自已发表的文章，本文作者只进行整理和解释以使读者更容易地理解相关方面的内容。文中部分或全部图片来自网络中明确能够使用或修改的无版权图片，在此对作者和出处表示感谢。预览时标签不可点收录于话题#个上一篇下一篇转载请注明：http://www.shfangzhiyuan.com/etsgzl/5478.html
